Q. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m + 1 আৰ্হিৰ, য’ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা ৷
[ ইংগিত : ধৰা x এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ৷ তেন্তে ইয়াৰ আৰ্হি হ’ব 3q, 3q+1 বা 3q +2 . এতিয়া ইহঁতৰ প্ৰতিটোকে বৰ্গ কৰা আৰু দেখুওৱা যে সিহঁতক 3m বা 3m+1 আৰ্হিত লিখিব পাৰি ৷]
সমাধান :
ধৰাহ’ল , a এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 3
এতিয়া , ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ –
a= 3q + r , য’ত 0 ≤ r < 3 , q অখণ্ড সংখ্যা
∴ r = 0 , 1 , 2
এতিয়া , a=3q + 0 = 3q
বা a = 3q + 1
বা a = 3q + 2
গতিকে , যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গৰ প্ৰকাশ ৰাশি হ’ব –
(a)2 = (3q)2
= 9q2
= 3 ( 3q2)
= 3m , য’ত m= 3q2
(a)2 = (3q +1)2
= (3q)2 + 2 .3q. 1. + (1)2
= 9q2 + 6q + 1
= 3(3q2 + 2q) + 1
= 3m + 1 , য’ত m = 3q2 + 1
আৰু (a)2 = ( 3q + 2 )2
= (3q) 2 + 2. 3q . 2 + (2) 2
= 9q2 + 12 q + 4
= 9q2 + 12q + 3 + 1
= 3 (3q2 + 4q + 1 ) + 1
= 3m + 1 , য’ত m= 3q2 + 4q + 1
গতিকে কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গফলৰ আৰ্হি 3m বা 3m + 1 আৰ্হিৰ, য,ত m কোনোবা এটা অখণ্ড সংখ্যা ৷